聚变能引论
§1 概述
终极能源——聚变能，到底意味着什么？
电价更便宜？
很多问题解决思路的彻底颠覆。
聚变能——理想主义与现实利益的完美结合
零碳聚变能逆转气候变暖
聚变能清洁零碳，可以有效缓解乃至逆转气候变化。
聚变能将种植业转变为立体工厂
腾出大部分耕地，显著提升人民居住幸福感。
聚变能支持修复环境
驱动大规模跨地域引水，将沙漠修复回绿洲。
聚变能保障能源安全
随时随地且经济的聚变电站分布全国，能源安全。
聚变能加速星际旅行
聚变火箭喷出物温度高达上亿度，比冲极高。
聚变能驱动无限算力
稳定、廉价、无限的聚变电力让 AI 无限可能。
聚变能是国际竞争的关键领域
美国政府、国会、行业协会已经明确在聚变能领域与中国高度竞争。
能源是一切经济活动的基础 · 聚变能对应每年十五万亿美元的能源市场
课程简介——核聚变课程体系
| 年级 | 理论课 | 研讨课 | 实验课 |
|---|---|---|---|
| 一年级 | 工程物理概论：瓶中太阳——人类的聚变梦想 | 科研认知与专题研究 | |
| 二年级 | 等离子体物理基础 | ||
| 三年级 | 聚变能源概论 | 专业基础实验（1）（2） | |
| 四年级 | 聚变物理与工程导论 |
本科生：基于目前磁约束聚变进展，系统地介绍基本概念、物理和工程技术。
研究生理论课：等离子体物理导论 · 高温等离子体物理 · 聚变能引论 · 高温等离子体诊断技术
课程内容
- 1. 聚变反应的基本概念
- 2. 一般磁约束聚变反应堆
- 3. 聚变等离子体性质及其约束
- 4. 托卡马克中的基本物理问题
- 5. 聚变等离子体的加热和电流驱动
- 6. 等离子体与材料的相互作用（工程约束问题）
参考书
- 1. J. Reece Roth 著，李兴中等译：聚变能引论（1993 年中文版）
- 2. John Wesson：Tokamaks（2011 ed.）（中文版，2021 年）
- 3. Jeffrey P. Friedberg：Plasma Physics and Fusion Energy（中文版 2010 年版）
- 4. 石秉仁：《磁约束聚变——原理与实践》（1999）
- 5. 袁宝山等：《托克马克装置工程基础》（2011）
- 6. 秦运文：《托克马克实验的物理基础》（2011）
- 7. 谢华生：《聚变点火原理概述》（2023）
考核方式
- 根据平时作业成绩给分
聚变反应的基本概念
聚变能的物理机制
典型的聚变反应
- 反应温度约 $10\ \mathrm{keV}$（约 1 亿度）
- 中子能量 $14.1\ \mathrm{MeV}$，氦核能量 $3.5\ \mathrm{MeV}$
- 质量亏损 $\Delta m\approx3.14\times10^{-29}\ \mathrm{kg}$$\quad$〔原稿 3.34×10⁻²⁹ kg 系四舍五入偏差，AME2020 精确值 3.13×10⁻²⁹ kg〕
- 氘核（D）＋ 氚核（T）→ 氦核（⁴He）＋ 中子（n）
比结合能 𝜖 - 质量数 A 曲线
原图为示意图（ε–A 曲线，标注裂变区与聚变区）
A < 30
- 起伏上升
- 峰值为 4×，为什么？
- p 和 n 偶数个且相等
- 类 α 粒子结构，稳定！
A > 30
- 比结合能接近常数
- $\epsilon\approx8\ \mathrm{MeV}$
- 结合能 $E\propto A$
比结合能曲线反映的规律
原图为 ε–A 曲线（标出裂变区与聚变区）
- 曲线凸起
- A = 50 – 150 中等质量紧密
- 轻核和重核：松散
- 重组轻重原子核 ⇒ 释放结合能
- 要求：距离足够近
- 强相互作用范围 $\sim10^{-14}\ \mathrm{m}$
部分比结合能数据
| 核子数 | 电荷数 | 符号 | 质量 (MeV) | 结合能 (MeV) | 比结合能 (MeV/u) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ¹H | 938.272 | 0 | 0.000 |
| 2 | 1 | ²H | 1875.613 | 2.225 | 1.112 |
| 3 | 1 | ³H | 2808.921 | 8.482 | 2.827 |
| 3 | 2 | ³He | 2808.391 | 7.718 | 2.573 |
| 4 | 2 | ⁴He | 3727.379 | 28.296 | 7.074 |
| 6 | 3 | ⁶Li | 5601.518 | 31.994 | 5.332 |
| 7 | 3 | ⁷Li | 6533.833 | 39.244 | 5.606 |
| 8 | 4 | ⁸Be | 7454.85 | 56.5 | 7.062 |
| 9 | 4 | ⁹Be | 8392.75 | 58.165 | 6.463 |
| 10 | 4 | ¹⁰Be | 9325.503 | 64.977 | 6.498 |
聚变核燃料的选择
原图为 ε–A 曲线（标出裂变区与聚变区）
聚变核燃料
- 能够进行聚变反应且有净能量放出的核素
最常见的聚变核燃料
- 氘 D，氚 T，锂 Li
- 硼 B，³He
原则
- 放能多，反应截面大
聚变核燃料的基本性质
- 氢的同位素
- H：99.985%，D：0.015%，T：0%！
- 氘
- 储量 5 × 10¹³ t（奈何海水实在太多）
- 提取不难：沸点氢 = 20.268 K，沸点氘 = 23.65 K，逐级蒸馏或化学置换
- 氚
- 半衰期 12.3 年
- 只能通过产氚反应生成
- 锂
- 地壳含量 0.002%，丰度排序 32 位
- 海水：2500 亿 t
- 陆地（已探明矿物储量）：2240 万 t
- 硼
- 地壳含量 0.001%，丰度排序 37 位
- 硼资源 (B₂O₃) 储量：11 亿 t
- 氦-3
- 地球：极其稀少
- 月球：储量 100 万 t
轻核聚变燃料的核性质
- 氘：由中子和质子结合而成的弱束缚核
- 氘是美国化学家 H. C. Urey 于 1932 年发现的（1934 年因此获诺奖）。现在我们知道，中子与质子之间是通过交换 π 介子来传递核力的，但二者间的结合是弱作用的结果，所以很稳定。
- 氚：$\mathrm{p}+\mathrm{n}+\mathrm{n}$
- 可看成是 $(\mathrm{p}+\mathrm{n})+\mathrm{n}$，前者作为一个基团是稳定的，而单个中子是不稳定的，要发生弱作用衰变，放出一个电子和一个反电子中微子。所以氚是不稳定的，半衰期 12.3 a。作为对比，我们来看看氦-3。
- 氦-3：$\mathrm{p}+\mathrm{p}+\mathrm{n}$
- 因为 $\mathrm{p}$ 稳定，$\mathrm{p}+\mathrm{n}$ 稳定，所以氦-3 稳定。
- 但地球上氦 3 为什么这么少呢？（作业 1）
轻核聚变主要类型
对轻元素聚变的原子核性质的研究表明，有 3 类反应产生的核能是最多的。这就是由氘、氚和氦-3 构成的反应。
两个分支，概率差不多
优点：单位核子放能多；
困难：要克服静电排斥力；氦 3、氚不能直接从自然界获得。
聚变反应的能量分配
对于氘-氚反应来说，确定两种反应产物的能量分配尤为重要，因为它的反应产物中一种是带电的而另一种不带电。
假设聚变前粒子是静止的（相对于反应产物的速度而言），聚变反应后两种反应产物用下标 1 和 2 表示。
由能量守恒和动量守恒关系：
这里 $E$ 是反应后释放的总能量。
聚变反应的能量分配
可以解得：
即产物粒子的动能与其质量成反比。或者说，较轻的粒子携带了大部分能量。
对于氘-氚反应，释放的能量 $E=17.6\ \mathrm{MeV}$。反应产物为一个 $\alpha$ 粒子和一个中子，质量比为 4。
因此 $\alpha$ 粒子的动能为 $E/5=3.5\ \mathrm{MeV}$，中子的动能为 $4E/5=14.1\ \mathrm{MeV}$。
聚变反应特点——与裂变比较
铀 235 的每个核子释放出 0.88 MeV 的能量，但总能量高于聚变
- 触发裂变反应只需要一个中子，而反应产物中则包含两个中子——中子增殖使反应可自持。
- 中子的电中性使得它可以轻易地穿过包围在原子周围的电子云从而近距离接触到原子核本身。因此燃料可以常温固体形式存在。
裂变反应能够很快转变成实用电能的原因有两个
中子驱动下的轻核裂变和聚变
考察两种假设性的核反应，它们分别对应于中子驱动下的轻元素裂变反应或聚变反应。
氘核 + 中子裂变：
这个反应产生了所希望的中子增殖，但它是吸热反应，不能作为能源。
这个反应属于放能反应，但它不能使中子增殖，故无法自持，因此也不能作为能源。
所有“轻核-中子”反应都具有这两个特征，因此轻核 + 中子不是产能途径。（作业 3）
聚变反应速率
能量释放要多，反应速率也要快
如果只看能量释放，4H → He 是首选
原图为各反应每核子放能与质量数的关系（4H→He 最高）
库仑势垒和反应截面
但实际上，当反应物相对能量明显小于 $E_{\max}$ 时，仍可有相当数量的聚变反应发生，这是因为存在量子隧穿效应的缘故。
Gamow（1938）最早计算了热核聚变反应的隧道效应的截面：
$C_0$：实验决定的常数 · 约化质量 $M=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ · $\omega$：粒子间相对动能（质心系下动能）
反应截面 $\sigma$ 与反应速率 $\langle\sigma v\rangle$
- 核反应截面是指粒子间能够发生碰撞并产生有效核反应的概率。
- 设 $N_1$ 为单位体积中的靶粒子数，$\mathrm{d}x$ 是通道的长度，则 $N_1\mathrm{d}x$ 即单位面积上的核子数，于是我们有：$N$ 个轰击粒子通过该段通道时能够发生反应的粒子数为
- $$\mathrm{d}N=N\,N_1\,\sigma\,\mathrm{d}x$$
- 由此可见，$\sigma$ 具有面积量纲，通常取 $10^{-28}\ \mathrm{m^{2}}$ 为单位，称为“靶（barn）”。
- 通常 $\sigma$ 是粒子速度的函数 $\sigma(v)$。如果参与反应的粒子服从麦氏分布，其相对能量为 $\omega$，则这个分布可写成（$kT$ 以能量为单位）
- $$\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}=C_1\frac{\omega^{1/2}}{T^{3/2}}\,e^{-\omega/kT}$$
- 将 $\langle\sigma v\rangle$ 对整个分布积分，即得到聚变反应速率（单位时间内以截面为底、热速度矢量为高的柱体内的核反应次数）：
- $$\langle\sigma v\rangle=\int_0^{\infty}\sigma(\omega)\,\omega^{1/2}\,\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}\,\mathrm{d}\omega=\frac{C_2}{T^{3/2}}\int_0^{\infty}\exp\!\left[-\frac{\pi M^{1/2}Z_1Z_2e^{2}}{\sqrt{2}\,\epsilon_0 h\,\omega^{1/2}}-\frac{\omega}{kT}\right]\mathrm{d}\omega$$
反应率曲线
- 反应率系数的组成示意图
- 当燃料离子能量的 Maxwell 分布与高能区迅速增加的截面大小相当时，两者的组合对反应率系数的贡献最大
- 对被积函数微分，可以得到反应率最高时的能量：
- $$W_{\max}=\left[\frac{M}{2}\left(\frac{\pi Z_1Z_2e^{2}kT}{2\epsilon_0 h}\right)^{2}\right]^{2/3}$$
常见聚变反应截面和反应速率
截面 σ 随能量的变化
反应率系数 ⟨σv⟩ 随温度的变化
其他核过程对聚变反应的影响
- 核散射效应
- 带电的反应产物具有比燃料离子高得多的动能。它们可以穿过燃料离子的库伦势垒引起燃料离子的核散射。（注意：核散射是核力作用过程。它可以是弹性的，如产物粒子与低能燃料离子之间的散射；也可以是非弹性的，如中性束注入粒子与本底离子之间的作用。）在此过程中，反应产物的动能转移到燃料离子上，使后者的反应率大大提高，从而增加了聚变反应概率。
- 核极化效应
- 如果核自旋沿着外磁场方向，称为核的极化。
- 对于氘氚反应，如果两种燃料离子都被极化到外磁场方向，与非极化情形相比，可使有效核反应截面增大 50%。
其他核过程对聚变反应的影响
- 核极化对聚变反应的影响
- 对于 D-T 反应，核极化的一种潜在的有用结果是：如果氘核和氚核都沿磁场被极化，则复合核所发射出的中子和 α 粒子的方向将主要是垂直于磁场。这一优势发射方向使得其中的带电粒子（α 粒子）在具有损失锥的磁约束位形中易于被捕获，垂直于磁场的中子发射可以用来把中子造成的辐射损伤集中在垂直于约束磁场的方向上。
- 如果氚核没有被极化，而氘核沿着垂直于磁场的方向被极化，那么，其核反应率与非极化反应堆的反应率是相同的，但 α 粒子的发射将主要沿磁场方向。在环形磁场位形中，这将能使 α 粒子约束得到改善。
- 对于 DD 反应，核极化同样对反应速率有正面影响。详见 Kulsrud, R.M., et al. Fusion reactor plasmas with polarized nuclei. Phys. Rev. Lett. 49: 1248-1251（1982）。中文阅读材料，见李兴中译《聚变能引论》Chapt. 6。
聚变反应对比
聚变能开发路线的起点
反应速率最高的聚变反应：D-T 聚变
对 D-T 反应，最可几反应能量为
这就是说，在 keV 量级的温度下就可以有很高的反应率系数，而且这种反应还具有相对较高的功率密度，因此 DT 反应被认为是优先的聚变途径。
它不仅是第一代聚变反应堆的首选方式，而且也是未来更先进的 DD 反应的点火机制。
两条途径中，上一条占绝对优势，产生的是 14.1 MeV 的 n 和 3.5 MeV 的氦核（α 粒子）；另一条分支产生的 n 和 α 只携带很少的动量，大多数能量以 γ 射线放出。
第二条分支出现的概率仅 10⁻⁶，但可用于对是否实现聚变反应进行诊断。
D-T 反应产生的快中子（14 MeV）需要通过包层使其慢化下来。包层的厚度至少要 1 米！我们可以利用快中子与 ⁷Li 的吸热反应来慢化中子，同时增殖氚（如果包壁采用铌或铌锂合金，中子慢化和增殖的效果还要好）。
氚的供给：氚增殖
- 氚不是天然存在的，必须通过中子诱发的核反应来增殖：
（第四式是非弹性散射：⁷Li 被激发到第一激发态后放出 0.478 MeV 的 γ，反应前后核素不变，故不是质量亏损型 Q 值。）
以放热形式产氚的 ⁶Li 只占天然锂的 7.5%，其他全是 ⁷Li。
从发电角度看，只有不到 10% 的份额是以带电粒子能形式直接转化为直流电功率，其余的都必须通过热转换形式才能加以利用，而我们知道，热机效率最高大约 40%。
DT 反应对环境具有潜在危险性。由于存在增殖包层，大量氚投料量（5－15 kg）相当于50－150 MCi（3.7×10¹⁸ Bq）的放射性强度，而且这种放射性是挥发性和有生物活性的，很难被密封。14 MeV 的中子还将使包层和装置结构活化，因此，除了考虑材料和装置退役的去污处理，还需有足够厚的生物屏蔽层。（切尔诺贝利：5.2×10¹⁸ Bq）
最有潜力的聚变反应：D-D 聚变
从环境角度看，D-D 反应非常清洁：没有快中子；不需要放射性氚，从而大大减少了包层和辐射防护厚度。但从 $\langle\sigma v\rangle$ 曲线可见，其点火条件要比 DT 高近两个量级，因此对磁场、等离子体温度、约束时间和密度等要求要高很多，这使它只能成为下一代聚变堆的备选方案。
DD 反应 + DT 反应
通过燃烧 T 和氦 3，每对 DD 释放出的平均能量提高到 14.4 MeV，其中约 61.8% 能保留在等离子体中（带电粒子动能），剩下的 38% 以 2.4 MeV 和 14.1 MeV 的中子带走。上述四个式子构成“燃料循环”，称为“完全催化反应”，其中 ³He 和 T 在最终“灰分”中不出现，称为“催化剂”。
D-D 聚变中子的利用
D-D 反应中的中子可以用于其他目的：在包层中加入氢，就可以通过 pn 反应将中子能量吸收
甚至还可以作用于裂变同位素（裂变反应）形成聚变-裂变混合堆。这样，既可以为轻水堆提供燃料，也可以用来生产高品位的燃料（钚）。
或是通过 $\mathrm{n}+\mathrm{Na}$ 反应使输出能量增加：
这里的中子都是热中子。前一个式子里，X 是裂变产物，可以是从“Zn”到“Dy 镝”的近 40 种元素里的一种。k 是增殖的中子数。在后一个式子里，第一次贝塔衰变的半衰期 23.5 min，第二次的半衰期 2.35 d。
也具潜力的聚变反应：D-⁶Li 聚变
D-⁶Li 反应的好处与 D-D 反应一样多：有相对较高的能量输出；使用天然燃料；截面和反应率系数与其他高性能反应相当。
D-⁶Li 反应产生的复合核至少可以 5 种方式聚变，即反应有 5 个分支：
这些反应中，铍 7 具有放射性，半衰期 53 天，衰变成锂 7。
缺点：截面数据不足；产物具有高温冷凝性。计算表明，如果一个每年输出千兆瓦的聚变堆中有 30% 的这些燃料在通道中燃烧，就将有 1～2 吨的未燃尽锂、铍和硼燃料沉积在真空室壁上。
无中子聚变反应
- 无中子聚变反应主要包括：³He-³He, p-⁶Li, p-⁹Be 和 p-¹¹B 反应。
- 好处：产物中无中子；使用天然燃料（氦 3 除外）。但截面和放出的能量不如 DT 反应。
好处：不存在冷凝物、中子和放射性产物；不足：燃料成本高。
- 好处：不存在冷凝物；如果将下一级反应
- $${}^{3}\mathrm{He}+{}^{6}\mathrm{Li}\;\rightarrow\;\mathrm{p}+2\,{}^{4}\mathrm{He}\qquad(Q=16.880\ \mathrm{MeV})$$
- 考虑进来，这种链式反应产生的总能量达到 20.9 MeV，与 DD 反应相当。而且生成的快质子可以触发另一个 p-⁶Li 反应（且反应率比上一循环高）。缺点：次级反应 ⁶Li-⁶Li 会带来相当大的中子通量和放射性铍 7。
- $${}^{6}\mathrm{Li}+{}^{6}\mathrm{Li}\;\rightarrow\;\mathrm{n}+{}^{4}\mathrm{He}+{}^{7}\mathrm{Be}\qquad(Q=1.908\ \mathrm{MeV})$$
无中子聚变反应
- 好处：不存在冷凝物、中子和放射性产物；产物均可留在等离子体中进行链式反应。
- 不足：存在许多与铍 9 相关的次级反应，这些次级反应均产生高能中子。
- 好处：在基于质子的无中子反应中截面最高；无需处理氚；离子温度～300 keV，即达到点火温度。
- 缺点：反应产物氦 4 和硼 11 均有次级反应，会带来中子和长寿命的碳 14（半衰期 5730 年），碳 14 一方面具有放射性危害，同时会干扰世界范围内的放射性碳的年代测定技术标度，因此需要小心加以控制。另外，硼 11 是高温冷凝性的。
功率平衡与劳孙判据
要做到什么程度才算成功
功率平衡与劳孙判据
按目前的技术水平，要达到 DT 反应的动力学温度条件是轻而易举的事。这是否就能保证有有效的聚变能输出了呢？1957 年，J. D. Lawson 对聚变等离子体的能量平衡做了计算（J. D. Lawson, Proc. Phys. Soc. B70, 1957, 6），提出了维持等离子体能量平衡的最低要求，即劳孙判据。
下面我们从能量平衡出发来推导劳孙判据。先考虑产能。单位体积里的聚变功率称为聚变反应功率密度
这里 $\gamma_{ij}$ 对同类离子取 $\tfrac12$，对非同类离子取 1。
对 DT 或 DD，$n_D=n_T=\tfrac12 n_e$，故 $p_{\mathrm{fus}}=\tfrac14 n_e^{2}\langle\sigma v\rangle E_{DT}$。
能量损失
在起始阶段，没有聚变反应。聚变装置中燃料（等离子体）的能量损失必须通过外部加热来补充。对于等离子体态的粒子，我们暂不考虑核子自旋和内部能量转化，这样每个粒子只有 3 个自由度，即温度 $T$ 下的每个粒子的平均能量可以写成 $\tfrac32 T$，单位体积内等离子体的总能量为
这里 $V$ 是等离子体体积。如果等离子体的能量约束时间取 $\tau_E$，单位时间的能量损失（损失功率）写成 $P_L$，则有
P_L=\frac{W}{\tau_E}
对于聚变功率较小可以忽略不计的情形，假设外部加热功率为 $P_H$，则装置达到稳态运行时有 $P_L=P_H$，或 $\tau_E=W/P_H$。
这个式子提供一种通过实验估计能量约束时间 $\tau_E$ 的方法。
能量损失：轫致辐射损失
等离子体的能量损失，除了热损失之外，还有辐射损失。而在所有辐射损失中，最不可忽略的当属轫致辐射损失 $P_{\mathrm{brem}}$。如果离子密度取 m⁻³，则有
假定聚变反应功率 + 热损失功率 + 辐射损失功率之和乘以一定系数后被利用来产生推动装置运行的电能（电功率），则可得到劳孙条件：
其中 $\eta$ 是“聚变功率 → 可用电能”的转换效率（热机效率上限约 40%）。
上式取等号，即可得到通常的劳孙判据表达式（未考虑 α 粒子贡献）：
$$\boxed{\;n_e\tau_E=\frac{3T(1-\eta)}{\dfrac{\eta}{4}\langle\sigma v\rangle E_{\mathrm{fus}}-cT}\;}\qquad c=5.35\times10^{-37}Z^{2}$$
〔原稿分母写作 $\eta\tfrac14\langle\sigma v\rangle E_{\mathrm{fus}}+cT-cT$，两项相消会使轫致辐射完全消失，与上一式不自洽；已更正。〕
考虑 α 加热后的零功率堆判据
从前述 DT 反应式我们知道，反应产物 $\alpha$ 粒子携带的能量（$3.5\ \mathrm{MeV}$）仅为快中子的 $1/5$。带电的 $\alpha$ 粒子或者被约束在等离子体内通过 D-³He 反应被烧掉，或者（不被约束的）被抽出后通过质量分离器分离出后再被重新送回到反应器中。因此考虑 $\alpha$ 贡献后的输出功率为前述的 $4/5$。实现零功率输出的条件相应为
劳孙判据改为
〔原稿把 α 能量写作 3.4 MeV，应为 3.5 MeV；分母亦缺 $\tfrac14$ 因子，均与第 9、18 页不一致，已更正。〕
点火（自持燃烧）条件
这时要求 α 粒子功率大于或等于等离子体总的损失功率
由此得到
上式可简化为（作业）：
$$\boxed{\;n\tau_E\;\ge\;\frac{12\,T}{\langle\sigma v\rangle E_\alpha}\;}$$
〔因 $E_{DT}/20=E_\alpha/4$，$3T/(\langle\sigma v\rangle E_\alpha/4)=12T/(\langle\sigma v\rangle E_\alpha)$，即忽略轫致辐射项的简化结果。〕
点火条件
从上式我们看到，$n\tau_E$ 仅是温度 $T$ 的函数。在 $T$ 接近 30 keV 处，$n\tau_E$ 有极小值
但我们知道，$\tau_E$ 本身是 $T$ 的函数，故在极小值处的温度并不是最佳点火温度。实际点火温度还可以更低。理论计算表明，当温度处于 10－20 keV 时，在 10% 的精度范围内，反应率可写成
这个条件很给人鼓舞。目前大装置芯区就可以达到。例如：$n=10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}$，$T=10\ \mathrm{keV}$，则 $\tau_E=3\ \mathrm{s}$。
应当指出，上述公式是针对平坦分布的，如果密度、温度均取抛物线分布（更接近实际），则峰值处点火条件为
$$\boxed{\;nT\tau_E>5\times10^{21}\ \mathrm{m^{-3}\,keV\,s}\;}$$
〔独立复核：由 $n\tau_E=12T/(\langle\sigma v\rangle E_\alpha)=3.12\times10^{24}/T$ 得 $nT\tau_E=3.12\times10^{24}\ \mathrm{keV\,m^{-3}s}=3.1\times10^{21}\ \mathrm{m^{-3}keV\,s}$，与 3×10²¹ 吻合；抛物线分布取峰值需乘 5/3，即 5×10²¹，亦相符。〕
由 $E_\alpha=3.5\ \mathrm{MeV}$，我们可将点火条件写成
点火途径
原图为从启动到点火的功率平衡示意图
- 右图示意性地给出了从启动到点火（自持燃烧）的大致途径：
- 随着外部加热逐渐增强，α 粒子贡献逐步显现，达到 5 keV 后，辅助加热功率逐步减小，D-T 反应的贡献开始起主要作用，在 T = 10 keV 处达到 α 粒子与轫致辐射损失得失平衡，辅助加热完全关闭，实现自持燃烧。
- 但这种平衡是不稳定的，过了这一点，α 粒子放热将超过轫致辐射损失，使温度继续上升。进一步分析表明，这种得失平衡存在另一个稳定点。
自稳定 ⇒ 固有安全
在点火后，外加功率略去，自持燃烧条件为
能量平衡时相当于上式左边等于零。对温度作扰动 $T\to T+\Delta T$ 并线性化：
减去平衡量，得
3n\frac{\mathrm{d}\Delta T}{\mathrm{d}t}=\tfrac14 n^{2}\frac{\langle\sigma v\rangle}{T}E_\alpha\left[-1+\frac{T}{\tau_E}\frac{\mathrm{d}\tau_E}{\mathrm{d}T}+\frac{T}{\langle\sigma v\rangle}\frac{\mathrm{d}\langle\sigma v\rangle}{\mathrm{d}T}\right]\Delta T
如果上式右边为正，温度将指数上升，不合理，故要求
$$\boxed{\;\frac{T}{\tau_E}\frac{\mathrm{d}\tau_E}{\mathrm{d}T}<1-\frac{T}{\langle\sigma v\rangle}\frac{\mathrm{d}\langle\sigma v\rangle}{\mathrm{d}T}\;}$$
实验表明，$\tau_E\propto1/T$，于是 $\dfrac{T}{\tau_E}\dfrac{\mathrm{d}\tau_E}{\mathrm{d}T}=-1$。
作图可见，在 $T>14.5\ \mathrm{keV}$ 时平衡是稳定的。
〔原稿此处写作 $(T/\tau_E)/(\mathrm{d}\tau_E/\mathrm{d}T)=-1$，分子分母写反（应为相乘），且线性化式中漏写 $\Delta T$，均已更正。〕
各种聚变反应的点火判据
谢华生，2023 —— 各种聚变反应的点火判据对比曲线
人类实现可控聚变的历程
极致的诱惑与艰巨的困难并存
聚变能——人类尝试了 70 多年尚未成功但仍未放弃的技术
磁约束聚变道路发展经过
- 1942 年，爱德华·特勒（E. Teller，1908—2003）在洛斯阿拉莫斯提出，给原子弹穿上氘燃料包层，利用原子弹产生的高温实现核聚变，将制造出比原子弹威力大 1000 倍的氢弹。在这一设想基础上，二战后，1950 年，美国在加州建立了利弗莫尔第二武器实验室，在他的领导下，1952 年，在马绍尔群岛的一个珊瑚岛上爆炸了第一颗氢弹。
- 1951 年，天体物理学家斯必泽（Lyman Spitzer，1914—1997）提出仿星器概念（Stellarator）。这是第一个磁约束等离子体位形装置。
- 1951 年底，塔克（J. Tuck）从洛斯阿拉莫斯实验室申请到 5 万美元资金用于建立环形箍缩装置——或然器（Perhapsatron），主要是检验 1946 年 G. P. 汤姆逊和布莱克曼提出的环形箍缩（toroidal pinch）的可行性。
- 1952 年，波斯特（R. Post）建立磁镜装置。
- 前苏联 1950 年代在阿齐莫维奇（Artsimovich）领导下的托卡马克位形装置。
磁约束聚变道路发展经过
- 1950 年代，将聚变研发想象得过于理想化。但结果很不理想，等离子体约束不住。于是意识到重点不是聚变途径，而是对等离子体基本性质有足够的掌握。这样就有了 1957 年《自然》上公开发表的英美两国的装置资料和进展报告。1958 年 9 月，在日内瓦召开的第二届和平利用原子能国际会议上，各大国解密了各自的研究资料，此后聚变转入高温等离子体性质的研究。
- 1960 年代初，美苏互访。国际原子能委员会创办《核聚变》杂志（1960）；召开了关于等离子体物理和受控核聚变（PPCF）研究的第一届国际会议（1962），会上苏联的约飞（M. S. Ioffe）用实验结果证明了极小 B 的重要性。1965 年，在英国卡拉姆召开了第二届会议，日本报告了在环形多级器上得到了比玻姆扩散时间长得多的约束，再次证实环形装置中平均极小 B 磁场的重要性。
- 1968 年 8 月，第三届 PPCF 会议上，阿齐莫维奇介绍了 T-3 的结果，引起震动。次年卡拉姆实验室派人前往苏联联合实验，证实了这一结果，从此聚变研究进入托卡马克时代。
- 1970 年代，托卡马克建设掀起热潮，先后有 4 个大装置投入建设：TFTR（美）、JT-60（日）、JET（欧）和 T-15（苏），80 年代运行，取得了一批重要进展。
人们对于聚变能的情绪
原图为 1940–2020 年代公众与学界对聚变能的期待起伏时间轴
- 期待期：充满信心、立马可得（1946 年英国专利，桌面聚变反应堆）
- 各国埋头苦干；1958 年日内瓦首届聚变能大会，泰勒首次提出聚变能可能需要 50 年
- 1968 年托卡马克突破 1 千万度，1970 年代石油危机带来大量投入
- 温度越高约束显著变差
- 1982 年德国 ASDEX 发现改善约束的方法
- 1990 年代 JET 等可控地实现 10 MW 级聚变功率
- 冷战后石油危机解除，投入大幅减少；2000 年后 ITER 不断延误，消磨大家的耐心和信心
- “永远 50 年”的说法开始出现
- 近几年再次升温
聚变能开发速度是可以改变的
原图为聚变能成熟程度与商用目标随时间的双曲线示意图
- 各国埋头苦干 → 托卡马克 + 石油危机 → 发现高约束方法 → 遇到瓶颈 → 苏联解体 + 石油危机解除 → 商业化起步
- 亲身体会：商业化 2 年 > 大学 20 年
- 永远五十年
一点感想
- 公众的期待
- 永远 50 年：无能
- 争取 10 年：骗子
- 未成熟但已经有老化的迹象
- 巨大的惯性，僵化的思路
- 聚变成不成无所谓
- 纵览全局，开拓思路
第一讲作业
- 1. 完成《Tokamaks》第 1 章的阅读。简答以下问题：
- 1. 什么叫“能量约束反常”？
- 2. 托克马克的体积为什么必须做的很大？
- 3. 什么叫 H 模？其意义是什么？
- 2. 为什么地球上氦 3 这么少？
- 3. 举例说明其他轻元素的聚变反应也具有或者是中子倍增但吸热、或者是放热但吞噬中子的反应的特征，能否从理论上给予一般性说明？
附录：公式复查报告
本次修订对全讲提出的 38 处公式与数值逐条复核：24 条复核正确、11 条存在错误或笔误并已更正、其余为补充说明。数值核验使用 AME2020 原子质量过剩独立计算。